1089 * 9 = 9801
Ο αριθμός 1089 και το γινόμενό του επί 9 (9801) έχουν τα ίδια ψηφία αλλά με αντίστροφη σειρά...
2178 * 4 = 8712
Ο αριθμός 2178 και το γινόμενό του επί 4 (8712) έχουν τα ίδια ψηφία αλλά με αντίστροφη σειρά...
Υπάρχει άραγε άλλος 4ψήφιος με παρόμοια ιδιότητα ?
Απάντηση: ΌΧΙ

Στο τριαδικό σύστημα αρίθμησης ο αριθμός 1012 (είναι ο 32 του δεκαδικού) πολλαπλασιαζόμενος επί 2 δίνει τον 64 του δεκαδικού που στο τριαδικό γράφεται 2101. Στο τετραδικό σύστημα αρίθμησης ο αριθμός 1023 (είναι ο 75 του δεκαδικού) πολλαπλασιαζόμενος επί 3 δίνει τον 225 του δεκαδικού που στο τετραδικό γράφεται 3201.
Στο πενταδικό σύστημα αρίθμησης ο αριθμός 1034 (είναι ο 144 του δεκαδικού) πολλαπλασιαζόμενος επί 4 δίνει τον 576 του δεκαδικού που στο πενταδικό γράφεται 4301.
Στο εξαδικό σύστημα αρίθμησης ο αριθμός 1056 (είναι ο 245 του δεκαδικού) πολλαπλασιαζόμενος επί 5 δίνει τον 1225 του δεκαδικού που στο πενταδικό σύστημα γράφεται 5401.
……………
Στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης ο αριθμός 1089 πολλαπλασιαζόμενος επί 9 δίνει τον 9801.
Στο ενδεκαδικό σύστημα αρίθμησης ο αριθμός 109A (είναι ο 1440 του δεκαδικού) πολλαπλασιαζόμενος επί 10 δίνει τον 14400 του δεκαδικού που στο ενδεκαδικό σύστημα γράφεται A901.
Στο δωδεκαδικό σύστημα αρίθμησης ο αριθμός 10AB (είναι ο 1859 του δεκαδικού) πολλαπλασιαζόμενος επί 11 δίνει τον 20449 του δεκαδικού που στο δωδεκαδικό σύστημα γράφεται BA01.
……………
Στο δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης ο αριθμός 10EF (είναι ο 4335 του δεκαδικού) πολλαπλασιαζόμενος επί 15 δίνει τον 65025 του δεκαδικού που στο δεκαεξαδικό σύστημα γράφεται FE 01.
……………
Από τα παραπάνω δεδομένα γεννιέται η εικασία;
ΕΙΚΑΣΊΑ
Αν βάση αρίθμησης είναι το β τότε ο 4ψήφιος αριθμός με ψηφία κατά σειρά
1, 0, β-2 και β-1
πολλαπλασιαζόμενος επί β-1 δίδει εξαγόμενο τον 4ψήφιο με ψηφία κατά σειρά τα
β-1, β-2, 0, 1.
……………
Η εικασία αυτή είναι θεώρημα.
Στο παρακάτω κείμενο το β^3 σημαίνει βήτα στην Τρίτη ή β στον κύβο.

Απόδειξη.
Στο σύστημα αρίθμησης με βάση β ο 4ψήφιος με ψηφία 1, 0, β-2 και β-1 είναι ο
1 * β^3 + 0 * β^2 + (β-2) * β^1 + (β-1) * β^0 =
β^3 + (β-2) * β +(β-1) * 1 =
β^3 + β^2 – 2β +β -1 =
β^3 + β^2 – β – 1 =
β^2(β+1)-(β+1) = (β+1)(β^2-1) = (β + 1)^2(β-1) = μ
Ο 4ψήφιος αριθμός με ψηφία β-1, β-2, 0 και 1 είναι ο
(β-1) * β^3 + (β-2) * β^2 +1 =
β^4 - β^3 +β^3 -2β^2 +1 =
β^4 – 2β^2 + 1 =
(β^2 – 1)^2 =
{(β+1)(β-1)]^2 = (β+1)^2 * (β-1)(β-1) = μ(β-1)
……………
Παρατήρηση:
Στο πενταδικό σύστημα εκτός από τον 1034 που πολλαπλασιαζόμενος επί 4 δίδει τον 4301 υπάρχουν ακόμη 2 αριθμοί με παρόμοια ιδιότητα:
Ο αριθμός 1313 (208 του δεκαδικού συστήματος) που πολλαπλασιαζόμενος επί 2 δίδει τον 3131 (416 του δεκαδικού συστήματος)
Ο αριθμός 1443 (248 του δεκαδικού συστήματος) που πολλαπλασιαζόμενος επί 2 δίδει τον 3441 (496 του δεκαδικού συστήματος)